II. La droite qui, menée par le sommet d’un angle trièdre, fait spec ses faces des angles dont la somme est la moindre possible, doit être tellement située qu’en la joignant aux perpendiculaires conduites par le sommet à ces mêmes faces par trois plans, ces plans forment, autour d’elle, des angles égaux entre eux et à quatre tiers d’angle droit.
L’analogue du premier de ces théorèmes, dans la géométrie plane, est le suivant :
Le point de l’intérieur d’un triangle rectiligne, dont la somme des distances à ses trois sommets est la moindre possible, est le point d’où l’on verrait ses trois côtés sous des angles égaux entre eux et à quatre tiers d’angle droit[1].
Quant à l’analogue plan du second problème, il est indéterminé si le triangle est équilatéral, et, dans le cas contraire, il est impossible en ce sens que la somme des distances d’un point à ses trois côtés, prises avec leurs signes, peut avoir toutes les valeurs entre l’infini positif et l’infini négatif.
- ↑ Quelqu’un, sans doute par trop de précipitation, a donné, pour solution du premier problème sphérique, le point où se coupent les arcs de grands cercles qui joignent les sommets aux milieux des côtés opposés. S’il en était ainsi, il s’ensuivrait que le point de l’intérieur d’un triangle rectiligne, dont la somme des distances à ses trois sommets serait la moindre possible, devrait être le centre de gravité de la surface de ce triangle ; ce qui est généralement faux, d’après ce qui précède.
Il y a plus de quarante ans que ce dernier problème m’a été proposé par mon professeur, au collège de Nancy où j’étudiais alors. Je l’ai moi même proposé, en 1810, dans le premier volume du présent recueil où il a été résolu et généralisé (pag. 285) par M. Tédenat, correspondant de l’Institut, alors recteur à Nismes. Je devais donc croire que cela courait à peu près les rues ; lorsque je l’ai vu proposé de nouveau par M. Noél, dans le tom. v.me de la Correspondance de Bruxelles, où il se trouve résolu (pag. 237) par M. Heichen.
J. D. G.
