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STATIQUE.

De l’équilibre de la chaînette sur une surface courbe ;

Par M. Bobillier, professeur au Collège royal d’Amiens.

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Problème. Quelle est la courbe à double courbure qui affecte un fil pesant et homogène, parfaitement flexible et inextensible, d’une longueur déterminée, fixé, par ses deux extrémités, en deux points d’une surface courbe donnée quelconque et abandonné à l’action de la pesanteur sur cette surface, qu’on suppose n’exercer sur lui aucun frottement ? Quelle est la tension du fil, en un quelconque des points de sa longueur, et quelle est la pression normale qu’il exerce sur la surface courbe, en ce même point ?

Solution. Soit $S=0,$ l’équation en $x,y,z$ de la surface proposée, rapportée à trois axes rectangulaires, choisis de telle sorte que l’axe des $z$ soit vertical. Si l’on désigne par $\alpha ,\beta ,\gamma$ les trois angles que fait la normale au point $(x,y,z)$ avec les axes des coordonnées ; en posant, pour abréger,

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=P,\quad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=Q,\quad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}=R,\qquad$(1)

${\frac {1}{\sqrt {P^{2}+Q^{2}+R^{2}}}}=V\,;\qquad$(2)

on aura