dant à et seraient de même signe ; cette racine se trouverait alors soit entre et , soit entre et
Ainsi la méthode d’approximation de Newton, même avec le complément que nous y avons introduit, ne saurait complètement dispenser du recours à l’équation aux quarrés des différences des racines.
Nous avons insinué, en commençant, que la méthode d’approximation de Newton pouvait tout aussi bien être appliquée aux équations qui renferment plusieurs inconnues qu’à celles qui n’en ont qu’une seule, et cela qu’elle que soit la nature algébrique ou transcendante des équations proposées. C’est là une chose bien connue des astronomes ; mais, comme il n’est fait aucune mention de cette extension de la méthode dans les traités élémentaires, nous en dirons deux mots, en terminant, en faveur des commençans.
Soient
deux équations de forme quelconque entre et , desquelles on sache qu’on y satisfait, à peu près, en posant
en désignant respectivement par et ce qu’il faut retrancher à et pour avoir exactement et , on aura
en substituant, et posant pour abréger,
il viendra, suivant la série de Taylor,
