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ment déterminé, susceptible d’une solution unique, celui que se propose le calcul intégral est, au contraire, un problème tout à fait indéterminé, susceptible d’une infinité de solutions différentes ; c’est-à-dire, en d’autres termes, que la fonction primitive d’une dérivée proposée ne saurait être complète qu’autant qu’elle contient une constante tout à fait arbitraire, introduite dans cette fonction primitive, de telle sorte que la dérivation la fasse disparaître ; constante que l’on détermine ensuite, comme le signe d’un radical, d’après les conditions particulières de la question dont on s’occupe.

D’après le principe général de dérivation ; on a

$\operatorname {d} x=\operatorname {d} x^{1}=1x^{1-1}=1x^{0}=1.1=1,$

c’est-à-dire que la dérivée de la variable est égale à l’unité ; et, comme l’unité ne divise pas, il s’ensuit que, si $X$ est une fonction quelconque de $x$, au lieu d’écrire simplement, pour sa dérivée $\operatorname {d} X,$ on petit écrire ${\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}.$ Cette remarque peut, au premier abord, sembler puérile ; ce qui va suivre en fera juger autrement.

Représentons généralement par $S$ une fonction des deux variables $x$ et $y$, et supposons, par exemple, qu’on ait,

$S=Ax^{2}+By^{2}+2Cxy+2Dx+2Ey+F\,;$

on pourra indifféremment se proposer d’assigner la dérivée de cette fonction, soit par rapport à la variable $x$, soit par rapport à la variable $y$ ; d’où l’on voit qu’ici l’expression $\operatorname {d} S$ serait tout à fait équivoque ; mais, de même qu’en prenant la dérivée par rapport à $x,$ on a $\operatorname {d} x=1,$ on aura aussi, en la prenant par rapport à $y,\ \operatorname {d} y=1$. En conséquence on peut convenir de représenter par ${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}$ la dérivée de $S,$ prise uniquemment par rapport à la variable $x$,