![{\displaystyle y-y'=-{\frac {{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}}{{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} m}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'^{2}}}{\frac {\delta x'}{\delta m}}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774e3c59fe184d6d7d05e30c6eb6de67190181d0)
(20)
Si présentement on prend la variation de l’équation (15), on aura, en divisant toujours par
![{\displaystyle {\frac {\delta y'}{\delta m}}={\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\delta x'}{\delta m}}+{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/937511095003875daca64822433087422a11385f)
(21)
d’un autre côté, si nous supposons que le point
est sur la normale au rayon lumineux en
nous aurons
![{\displaystyle 1+{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\delta y'}{\delta x'}}=0,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea8d0f3a4ce294ab979814ac0940c16ed5f3563)
ou bien (16),
![{\displaystyle \quad 1+{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\delta y'}{\delta x'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10bbe55198ef3d011af7d58976097ad8ae204724)
où, en multipliant par
,
![{\displaystyle {\frac {\delta x'}{\delta m}}+{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\delta y'}{\delta m}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a352c2cff55c689953de52c4c0e51c3571a1d68f)
mettant dans cette dernière équation pour
sa valeur donnée par l’équation (21), elle deviendra
![{\displaystyle \left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}\right\}{\frac {\delta x'}{\delta m}}+{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55524eeb1d3b7ab6512443de2d8e0974b1295f99)
tirant enfin de cette dernière la valeur de
pour la substituer dans les formules (19) et (20), celles-ci deviendront