On voit donc qu’en prenant la dérivée partielle d’une fonction de tant de variables qu’où voudra, relative à l’une d’entre elles, non seulement les termes constans, mais encore tous ceux qui ne renferment point cette variable doivent disparaître ; d’où il suit que cette dérivée partielle demeurerait encore la même, si les termes que la dérivation a fait disparaître avaient été autres que ce qu’ils étaient réellement. Si donc on donne, comme dérivée partielle d’une fonction primitive inconnue, une fonction de plusieurs variables ; comme, dans la dérivation de laquelle cette fonction donnée est supposée provenir, des termes affectés seulement des variables auxquelles cette dérivée n’est point relative, auront pu disparaître, la fonction primitive cherchée devra, pour être complète, renfermer une fonction arbitraire de toutes ces variables, tellement combinée avec la variable à laquelle la dérivée partielle donnée se rapporte, que cette fonction arbitraire disparaisse par l’effet de la dérivation. Les fonctions arbitraires, ainsi introduites, se déterminant, comme les constantes arbitraires, d’après les circonstances particulières de la question dont on s’occupe.
La dérivée d’une fonction d’une seule variable, tout comme les dérivées partielles d’une fonction de plusieurs variables, étant elles-mêmes, en général, des fonctions de ces variables, on peut se demander d’en déterminer les dérivées, puis les dérivées de ces dérivées, et ainsi de suite indéfiniment. On obtient ainsi ce qu’on appelle les dérivées successives de la fonction proposée et ces dé-
