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rivées se distinguent les unes des autres par les dénominations de premières, secondes, troisièmes,… dérivées. Nous ferons connaître plus loin les notations par lesquelles on les désigne.

On voit, par ce qui précède, que la recherche des dérivées partielles successives des fonctions de plusieurs variables, ne saurait éprouver de difficulté, dès qu’on sait déterminer les dérivées successives des fonctions d’une seule variable ; et que cette dernière détermination se réduit finalement à savoir assigner la première dérivée de ces sortes de fonctions. C’est donc sur ce dernier problème que toute notre attention doit d’abord se concentrer.

SECTION PREMIÈRE.

Des fonctions d’une seule variable.

Cette section comprendra deux paragraphes. Dans le premier, nous nous occuperons exclusivement de la recherche des premières dérivées ; dans le second, nous examinerons les propriétés des dérivées successives.

§. I.

Premières dérivées des fonctions d’une seule variable.

Dans tout ce qui va suivre nous représenterons constamment par $X,X',X'',X'''\ldots$ des fonctions quelconques, algébriques ou transcendantes de la seule variable $x,$ et nous représenterons simplement leurs dérivées respectives par $\operatorname {d} X,\operatorname {d} X',\operatorname {d} X'',\operatorname {d} X'''\ldots$ attendu que, dans le cas particulier qui nous occupe, le dénominateur $\operatorname {d} x$ est tout à fait superflu.

Soient d’abord les deux fonctions $X$ et $X'$ développées sous cette forme

$X=Ax^{\alpha }+Bx^{\beta }+Cx^{\gamma }+\ldots ,$