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par un diviseur entier positif quelconque est égale au quotient de la division de la dérivée de cette fonction par ce même diviseur.

On a pareillement

$\operatorname {d} {\frac {X'}{n}}={\frac {\operatorname {d} X'}{n}}\,;$

posant

$X'=mX,\quad$d’où (3)$\quad \operatorname {d} X'=m.\operatorname {d} X,$

il viendra, en substituant,

$\operatorname {d} .{\frac {m}{n}}X={\frac {m}{n}}\operatorname {d} X\,;\qquad$(7)

c’est-à-dire : la dérivée du produit d’une fonction par une fraction positive quelconque est égale au produit de la dérivée de cette fonction par cette même fraction. La formule (5) prouve, en outre, qu’il doit en être de même pour une fraction négative.

Soient $X$ et $X'$ deux fonctions monomes de $x$, telles qu’on ait

$X=Ax^{\alpha },\qquad X'=A'x^{\alpha '},$

où $A,A',\alpha ,\alpha '$ sont des constante quelconques ; on en conclura

$XX'=AA'x^{\alpha +\alpha '},$

et ensuite

$\operatorname {d} X=\alpha Ax^{\alpha -1},\qquad X'=\alpha 'A'x^{\alpha '-1},$

$\operatorname {d} .(XX')=(\alpha +\alpha ')AA'x^{\alpha +\alpha '-1}.$

Cela donnera