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$\operatorname {d} (X-X')=\operatorname {d} X-\operatorname {d} X'\,;\qquad$(4)

c’est-à-dire : la dérivée de la différence de deux fonctions est égale à la différence des dérivées de ces deux fonctions.

Si, dans cette dernière formule, on suppose $X=0,$ on aura $\operatorname {d} X=0$ ; en conséquence, elle deviendra, en changeant ensuite $X'$ en $X,$

$\operatorname {d} (-X)=-\operatorname {d} X\,;\qquad$(5)

c’est-à-dire : les dérivées de deux fonctions qui ne différent que par le signe, ne différent également que par le signe ; ou, en d’autres termes, si la somme de deux fonctions est nulle, la somme de leurs dérivées le sera également.

De tout cela il est facile de conclure généralement que la dérivée de la somme algébrique de tant de fonctions qu’on voudra, est égale à la somme algébrique des dérivées de toutes ces fonctions.

En vertu de la formule (3) on a

$\operatorname {d} .nX'=n.\operatorname {d} X'\,;$

posant

$nX'=X,\quad$d’où$\quad X'={\frac {X}{n}},$

il viendra, en substituant,

$\operatorname {d} X=n.\operatorname {d} {\frac {X}{n}}\,;$

ce qui donne,

$\operatorname {d} {\frac {X}{n}}={\frac {\operatorname {d} X}{n}}\,;\qquad$(6)

c’est-à-dire : la dérivée du quotient de la division d’une fonction