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ce qui donnera, en substituant dans la valeur de $\operatorname {d} .XX'$

$\operatorname {d} .XX'=\left(X'_{1}+X'_{2}+X'_{3}+\ldots \right)\operatorname {d} X+X\left(\operatorname {d} X'_{1}+\operatorname {d} X'_{2}+\operatorname {d} X'_{3}+\ldots \right)\,;$

c’est-à-dire,

$\operatorname {d} .XX'=X'\operatorname {d} X+X\operatorname {d} X'\,;$

ainsi l’équation (9), et conséquemment l’équation (8), a encore lieu, lors même que l’un des deux facteurs $X$ et $X'$ est un polynome.

Supposons présentement que la fonction $X$ soit aussi un polynome, de telle sorte que l’on ait

$X=X_{1}+X_{2}+X_{3}+\ldots ,$

$X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ étant des monomes ; on aura

$XX'=X_{1}X'+X_{2}X'+X_{3}X'+\ldots \,;$

d’où on conclura (2)

$\operatorname {d} X=\operatorname {d} X_{1}+\operatorname {d} X_{2}+\operatorname {d} X_{3}+\ldots ,$

$\operatorname {d} .XX'=\operatorname {d} .X_{1}X'+\operatorname {d} .X_{2}X'+\operatorname {d} .X_{3}X'+\ldots \,;$

mais, d’après ce qui vient d’être dit sur la dérivée du produit de deux facteurs dont un seul est polynome, on a (9)

${\begin{aligned}&\operatorname {d} .X_{1}X'=X'\operatorname {d} X_{1}+X_{1}\operatorname {d} X',\\&\operatorname {d} .X_{2}X'=X'\operatorname {d} X_{2}+X_{2}\operatorname {d} X',\\&\operatorname {d} .X_{3}X'=X'\operatorname {d} X_{3}+X_{3}\operatorname {d} X'\,;\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

ce qui donnera, en substituant dans la valeur de $\operatorname {d} .XX',$