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qu’au lieu de $\operatorname {d} X$ on geut écrire ${\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}$, on pourrait aussi, au lieu de $\operatorname {d} ^{2}X$ ou $\operatorname {d} .\operatorname {d} X$, écrire

${\frac {\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}}{\operatorname {d} x}}\quad$ou simplement$\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}}.$

De même, au lieu de $\operatorname {d} ^{3}X$ ou $\operatorname {d} .\operatorname {d} ^{2}X$ on pourrait écrire

${\frac {\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}}}{\operatorname {d} x}}\quad$ou simplement$\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}}\,;$

et ainsi de suite. Alors la série de fonctions, dont il a été question ci-dessus, serait dénotée comme il suit :

$X,\ {\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}},\ {\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}},\ {\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}},\ldots {\frac {\operatorname {d} ^{n}X}{\operatorname {d} x^{n}}},\ldots \,;$

mais dans le cas présent, où il n’est question que de fonctions d’une seule variable, ce serait là, comme nous l’avons déjà remarqué, une complication tout à fait sans objet.

Puisqu’en général $\operatorname {d} .Ax^{\alpha }=\alpha Ax^{\alpha -1}\,;$ il s’ensuit que, si $X$ est une fonction rationnelle et entière de $x$, du m.^ième degré, sa première dérivée ne sera plus que du (m-1).^ième degré seulement, sa seconde dérivée du (m-2).^ième, la troisième du (m-3).^ième et ainsi de suite ; de sorte qu’en général $\operatorname {d} ^{n}X$ ne sera plus que du (m-n).^ième degré. La m.^ième dérivée sera donc d’un degré nul, c’est-à-dire constante ; et, par suite, toutes les dérivées ultérieures seront égales à zéro. Dans tous les autres cas, la fonction $X$ aura une infinité de dérivées effectives.

Soit, en général,

$X=Ax^{\alpha }+Bx^{\beta }+Cx^{\gamma }+\ldots =\operatorname {f} x\,;$

$A,B,C,\ldots \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ étant des constantes quelconques, po-