§. II.
Dérivées successives des fonctions d’une seule variable.
En continuant de représenter par
une fonction quelconque de la seule variable
, on voit, par ce qui précède, que généralement
sera aussi une fonction de
, dont on pourra se proposer de déterminer la dérivée comme celle de
On pourrait représenter cette dérivée par
; mais on la représente plus simplement par
; et c’est là ce qu’on appelle la seconde dérivée de la fonction
tandis que
en est dit la première dérivée. On peut dire également que
est la première dérivée de
Cette seconde dérivée
étant aussi, en général, une fonction de
, on peut pareillement se proposer d’en déterminer la dérivée, qui sera dite la troisième dérivée de
ou la seconde dérivée de
ou encore la première dérivée de
On pourrait la représenter par
ou par
; mais on trouve plus simple de la dénoter par
Généralement ; nous conviendrons de représenter par
![{\displaystyle X,\operatorname {d} X,\operatorname {d} ^{2}X,\operatorname {d} ^{3}X\ldots \operatorname {d} ^{n}X,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3f6996615300ab8d9d0defb36b5161a0a90fc8)
une suite de fonctions de la seule variable
, dont la première peut être quelconque, et dont chacune des autres est la première dérivée de celle qui la précède immédiatement. En conséquence
sera dite la n.ième dérivée de
. On voit par là que l’expression
qu’on pourrait remplacer par l’une ou l’autre de ces deux-ci
ou
, pourra être dite indifféremment la (m+n).ième dérivée de
ou la m.ième dérivée de sa n.ième dérivée, ou enfin la n.ième dérivée de sa m.ième dérivée.
Au surplus, à cause de
; d’où il suit que
équivalent de
et qu’il faut bien (Introd.) se garder de confondre soit avec
soit avec
est aussi égal à l’unité ; de même