Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/259

§. II.

Dérivées successives des fonctions d’une seule variable.

En continuant de représenter par $X$ une fonction quelconque de la seule variable $x$, on voit, par ce qui précède, que généralement $\operatorname {d} X$ sera aussi une fonction de $x$, dont on pourra se proposer de déterminer la dérivée comme celle de $X.$ On pourrait représenter cette dérivée par $\operatorname {d} .\operatorname {d} X$ ; mais on la représente plus simplement par $\operatorname {d} ^{2}X$ ; et c’est là ce qu’on appelle la seconde dérivée de la fonction $X,$ tandis que $\operatorname {d} X$ en est dit la première dérivée. On peut dire également que $\operatorname {d} ^{2}X$ est la première dérivée de $\operatorname {d} X.$

Cette seconde dérivée $\operatorname {d} ^{2}X$ étant aussi, en général, une fonction de $x$, on peut pareillement se proposer d’en déterminer la dérivée, qui sera dite la troisième dérivée de $X,$ ou la seconde dérivée de $\operatorname {d} X,$ ou encore la première dérivée de $\operatorname {d} ^{2}X.$ On pourrait la représenter par $\operatorname {d} .\operatorname {d} ^{2}X$ ou par $\operatorname {d} ^{2}.\operatorname {d} X$ ; mais on trouve plus simple de la dénoter par $\operatorname {d} ^{3}X.$

Généralement ; nous conviendrons de représenter par

$X,\operatorname {d} X,\operatorname {d} ^{2}X,\operatorname {d} ^{3}X\ldots \operatorname {d} ^{n}X,\ldots$

une suite de fonctions de la seule variable$x$, dont la première peut être quelconque, et dont chacune des autres est la première dérivée de celle qui la précède immédiatement. En conséquence $\operatorname {d} ^{n}X$ sera dite la n.^ième dérivée de $x$. On voit par là que l’expression $\operatorname {d} ^{m+n}X,$ qu’on pourrait remplacer par l’une ou l’autre de ces deux-ci $\operatorname {d} ^{m}.\operatorname {d} ^{n}X$ ou $\operatorname {d} ^{n}.\operatorname {d} ^{m}X$, pourra être dite indifféremment la (m+n).^ième dérivée de $x,$ ou la m.^ième dérivée de sa n.^ième dérivée, ou enfin la n.^ième dérivée de sa m.^ième dérivée.

Au surplus, à cause de $\operatorname {d} x=1$ ; d’où il suit que $\operatorname {d} x^{n},$ équivalent de $(\operatorname {d} x)^{n},$ et qu’il faut bien (Introd.) se garder de confondre soit avec $\operatorname {d} .x^{n}$ soit avec $\operatorname {d} ^{n}x,$ est aussi égal à l’unité ; de même