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$X+\operatorname {d} X{\frac {g}{1}}+\operatorname {d} ^{2}X{\frac {g^{2}}{1.2}}+\operatorname {d} ^{3}X{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\ldots$

$=A(x+g)^{\alpha }+B(x+g)^{\beta }+C(x+g)^{\gamma }+\ldots \,;$

or, puisqu’on a

$X=Ax^{\alpha }+Bx^{\beta }+Cx^{\gamma }+\ldots =\operatorname {f} x,$

on doit avoir

$A(x+g)^{\alpha }+B(x+g)^{\beta }+C(x+g)^{\gamma }+\ldots =\operatorname {f} (x+g)\,;$

donc finalement

$\operatorname {f} (x+g)=X+\operatorname {d} X{\frac {g}{1}}+\operatorname {d} ^{2}X{\frac {g^{2}}{1.2}}+\operatorname {d} ^{3}X{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\operatorname {d} ^{4}X{\frac {g^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots$

ou bien, en remettant pour $X$ sa valeur $\operatorname {f} x,$

$\operatorname {f} (x+g)=\operatorname {f} x+\operatorname {d} .\operatorname {f} x{\frac {g}{1}}+\operatorname {d} ^{2}.\operatorname {f} x{\frac {g^{2}}{1.2}}+\operatorname {d} ^{3}.\operatorname {f} x{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\ldots \,;\quad$(44)

c’est en cela que consiste le Théorème de Taylor, qui se trouve ainsi très-simplement et très-rigoureusement démontré pour toute fonction développable en une suite de monomes ; c’est-à-dire pour toutes les fonctions connues, algébriques ou transcendantes. Il est clair d’ailleurs qu’on pourrait écrire

$\operatorname {f} (x+g)=X+{\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}}{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\ldots \,;\quad$(45)

nous aurons souvent besoin d’employer ce développement sous cette dernière forme.

Dans la formule (44), $\operatorname {f} x$ est ce qu’on appelle l’état primitif de la fonction ; la constante quelconque $g$ est dite l’accroissement ou la différence de la variable ; et $f(x+g)$ est ce qu’on appelle l’état varié de la fonction. Cette formule (44) donne donc le dévelop-