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pement de l’état varié de la fonction, en série, procédant suivant les puissances entières et positives de l’accroissement ; série dans laquelle les coefficiens des différens termes sont les dérivées successives de la fonction primitive, divisés respectivement par le produit d’autant des premiers nombres naturels qu’il y a d’unités dans l’exposant de dérivation.

De cette formule on tire

$\operatorname {f} (x+g)-\operatorname {f} x=\operatorname {d} .\operatorname {f} x.g+\operatorname {d} ^{2}.\operatorname {f} x{\frac {g^{2}}{1.2}}+\operatorname {d} ^{3}.\operatorname {f} x{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\ldots \,;\quad$(46)

formule au moyen de laquelle $\operatorname {f} (x+g)-\operatorname {f} x$ qu’on appelle la différence de la fonction, se trouve développée suivant les puissances ascendantes de l’accroissement $g.$ Le premier terme $\operatorname {d} .\operatorname {f} x.g$ de cette différence, qui est proprement une différence tronquée, est appelé la différentielle de la fonction $\operatorname {f} x$ et le coefficient $\operatorname {d} .\operatorname {f} x$ de $g,$ dans ce premier terme, est dit le coefficient différentiel de cette même fonction ; d’où l’on voit que le coefficient différentiel d’une fonction n’est autre chose que sa fonction dérivée.

De la formule (46) ou tire

${\frac {\operatorname {f} (x+g)-\operatorname {f} x}{g}}=\operatorname {d} .\operatorname {f} x+\operatorname {d} ^{2}.\operatorname {f} x{\frac {g}{1.2}}+\operatorname {d} ^{3}.\operatorname {f} x{\frac {g^{2}}{1.2.3}}+\ldots$

Le premier membre de cette équation est le rapport entre l’accroissement de la fonction et celui de la variable ; et comme, à mesure que $g$ devient plus petit, son second membre tend sans cesse à se réduire à son premier terme $\operatorname {d} .\operatorname {f} x,$ on peut dire encore que la dérivée ou le coefficient différentiel d’une fonction est la limite du rapport entre l’accroissement de la fonction et celui de la variable.

Voilà donc, pour obtenir la dérivée d’une fonction, un procédé différent de celui que nous avons d’abord indiqué, mais qui doit nécessairement lui être équivalent. Il consiste à attribuer à la variable un accroissement arbitraire ; à retrancher la fonction pro-