Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/268

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {f} (x+g,y+h,z,\ldots )=S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\ldots &\\\\+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}{\frac {gh}{1.2}}+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y}}{\frac {g^{2}h}{1.2.3}}+\ldots &\\\\+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {h^{2}}{1.2}}+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {gh^{2}}{1.2.3}}+\ldots &\\\\+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y^{3}}}{\frac {h^{3}}{1.2.3}}+\ldots &\end{aligned}}\right\}\mathrm {(48)}$

Remarquons présentement que l’on peut passer de la fonction $\operatorname {f} (x,y,z,\ldots )$ à la fonction $\operatorname {f} (x+g,y+h,z,\ldots )$ de deux manières qui, bien que différentes en apparence, doivent néanmoins conduire au même résultat ; on peut, en effet, comme nous venons de le faire, supposer que, dans la première fonction, $x$ se change en $x+g$, et qu’ensuite, dans la fonction résultante, $y$ se change en $y+h$ ; ou bien on peut supposer que, dans cette même première fonction, c’est d’abord $y$ qui se change en $y+h,$, et qu’ensuite dans la fonction résultante, $x$ se change en $x+g$ ; et le développement exécuté suivant cette dernière hypothèse devra être identiquement le même que le développement résultant de la première, quels que soient d’ailleurs les grandeur et rapport des accroissemens $g$ et $h\,;$ donc, en particulier, le coefficient de $gh$ devra être le même dans l’un et dans l’autre. D’un autre côté, le second développement devra différer du premier en ce que $y$ et $h$ y auront pris respectivement les places de $x$ et $g,$ et vice versâ ; donc, puisque, dans le premier, ${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}$ est le coefficient de $gh,$ ce coeffctent sera ${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y\operatorname {d} x}}$ dans le second ; or, nous venons de voir que ces deux coefficiens doivent être identiquement les mêmes ; on doit donc avoir identiquement

${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y\operatorname {d} x}}\,;\qquad$(49)