![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{\alpha +\beta +\gamma +\ldots }S}{\operatorname {d} x^{\alpha }\operatorname {d} y^{\beta }\operatorname {d} z^{\gamma }\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9a0b5401daa3ed2bc6f794beaeb2d8bdcf7d63)
sera le symbole de la fonction à laquelle on parvient en différentiant d’abord
fois la fonction
par rapport à
seulement, puis la fonction résultante
fois par rapport à
seulement, puis la nouvelle fonction obtenue
fois par rapport à
seulement, et ainsi du reste.
Ces choses ainsi entendues, soit
![{\displaystyle S=\operatorname {f} (x,y,z,\ldots )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4e00eb27ea8569efc8f3f7cf857b721df4da21)
d’après la formule (45) on aura
![{\displaystyle \operatorname {f} (x+g,y,z,\ldots )=S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\ldots \,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7cc25bd3988d9a043de42398abb1439965fa8a3)
(47)
si, dans cette équation, on suppose que
se change en
étant une constante quelconque ; en vertu de la même formule,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&S\\\\&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}\\&\ldots \end{aligned}}\right\}{\text{deviendront}}\left\{{\begin{aligned}&S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {h}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {h^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}{\frac {h^{3}}{1.2.3}}+\ldots \\\\&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {h^{2}}{1.2}}+\ldots \\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}+\ldots \\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e478704a4affd24e85007d751c55d7438b7cc17)
en conséquence la formule (47) deviendra