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${\frac {\operatorname {d} ^{\alpha +\beta +\gamma +\ldots }S}{\operatorname {d} x^{\alpha }\operatorname {d} y^{\beta }\operatorname {d} z^{\gamma }\ldots }},$

sera le symbole de la fonction à laquelle on parvient en différentiant d’abord $\alpha$ fois la fonction $S$ par rapport à $x$ seulement, puis la fonction résultante $\beta$ fois par rapport à $y$ seulement, puis la nouvelle fonction obtenue $\gamma$ fois par rapport à $z$ seulement, et ainsi du reste.

Ces choses ainsi entendues, soit

$S=\operatorname {f} (x,y,z,\ldots )\,;$

d’après la formule (45) on aura

$\operatorname {f} (x+g,y,z,\ldots )=S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\ldots \,;\quad$(47)

si, dans cette équation, on suppose que $y$ se change en $y+h,\ h$ étant une constante quelconque ; en vertu de la même formule,

$\left.{\begin{aligned}&S\\\\&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}\\&\ldots \end{aligned}}\right\}{\text{deviendront}}\left\{{\begin{aligned}&S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {h}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {h^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}{\frac {h^{3}}{1.2.3}}+\ldots \\\\&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {h^{2}}{1.2}}+\ldots \\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}+\ldots \\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

en conséquence la formule (47) deviendra