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en conséquence la formule (48) deviendra

${\begin{aligned}\operatorname {f} (x+g,y+h,z+k,\ldots )=\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}{\frac {gh}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {h^{2}}{1.2}}&\\\\+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {k}{1}}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} z}}{\frac {gk}{1.2}}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y\operatorname {d} z}}{\frac {hk}{1.2}}&\\\\+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z^{2}}}{\frac {k^{2}}{1.2}}\end{aligned}}$

$\left.{\begin{array}{cr}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y}}{\frac {g^{2}h}{1.2.3}}+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {gh^{2}}{1.2.3}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y^{3}}}{\frac {h^{3}}{1.2.3}}+\ldots &\\\\+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} z}}{\frac {g^{2}k}{1.2.3}}+6{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z}}{\frac {ghk}{1.2.3}}+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y^{2}\operatorname {d} z}}{\frac {h^{2}k}{1.2.3}}&\\\\+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} z^{2}}}{\frac {gk^{2}}{1.2.3}}+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y\operatorname {d} z^{2}}}{\frac {hk^{2}}{1.2.3}}&\\\\+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} z^{3}}}{\frac {k^{3}}{1.2.3}}\end{array}}\right\}$(50)

Remarquons présentement que l’on peut parvenir de la fonction primitive $\operatorname {f} (x,y,z,\ldots )$ à la fonction variée $\operatorname {f} (x+g,y+h,z+k,\ldots )$ par des accroissemens successifs de variables, de six manières différentes, puisqu’on peut choisir de trois manières, parmi les trois variables $x,y,z$, la variable qui, la première, recevra son accroissement ; et que, pour chaque choix qu’on en voudra faire, il restera encore deux manières de faire succéder l’une à l’autre les variations des deux restantes. Il est clair d’ailleurs que les six développemens résultants ne différeront les uns des autres que par les diverses permutations tant des variables $x,y,z</mathquedeleursaccroissemensrespectifs<math>g,h,k.$ Il n’est pas moins évident que ces six développemens devront être identiquement les mêmes quels que soient les grandeurs et rapports des accroissemens $g,h,k\,;$