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donc, en particher, les coefficiens du terme $ghk$ devront y être identiquement les mêmes ce qui donnera

${\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} z\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y\operatorname {d} x\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y\operatorname {d} z\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} z\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}$

$={\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} z\operatorname {d} y\operatorname {d} x}}\,;\qquad$(51)

c’est-à-dire que, lorsqu’on différence successivement une fonction de plusieurs variables par rapport à trois d’entre elles, on parvient toujours au même résultat final, quel que soit l’ordre suivant lequel on fait succéder les différentiations les unes aux autres.

Supposons présentement que cette proposition, déjà démontrée pour deux et pour trois variables, l’ait été aussi pour tout nombre de variables inférieur à $n\,;$ il sera facile de démontrer alors qu’elle devra l’être également pour $n$ variables. En effet, considérons, au hasard, deux coefficiens différentiels du n.^ième ordre, dans lesquels les différentiations ne se succèdent pas de la même manière ; ou bien la dernière différentiation y sera relative à la même variable, ou bien cette dernière différentiation sera relative à deux variables différentes.

Si la dernière différentiation y est relative à la même variable, les $n-1$ différentiations qui l’auront précédée auront dû être relatives aux $n-1$ mêmes variables, et auront pu, tout au plus, se succéder les unes aux autres dans un ordre différent ; elles auront donc dû, suivant l’hypothèse, conduire au même avant dernier résultat qui, différentié de nouveau, par rapport à une même variable, aura dû donner aussi, pour l’une ou pour l’autre, le même résultat final.

Si, au contraire, dans ces deux coefficiens différentiels du n.^ième ordre, la dernière différentiation n’est point relative à la même variable, on pourra, sans rien changer à l’un ni à l’autre, garder pour l’avant-dernière, dans chacun, la différentiation qui sera la dernière dans l’autre, puisqu’on ne fera, de la sorte, qu’intervertir l’ordre des différentiations entre $n-1$ variables seulement. On