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pourra encore, pour la même raison, amener, de part et d’autre, la différentiation qui devra précéder immédiatement ces deux-là à être relative à une même troisième variable quelconque. Alors les différentiations qui précéderont les trois dernières conduiront, de part et d’autre, à une même fonction, puisqu’elles auront lieu par rapport aux $n-3$ mêmes variables. Il restera donc à différentier une même fonction par rapport aux trois mêmes variables ; ce qui, d’après ce qui précède, devra conduire (51), quel que soit d’ailleurs l’ordre des différentiations, au même résultat final.

Si l’on suppose $n=4$, la proposition se trouvera vraie, (49) et (51), pour tous les nombres inférieurs à $n\,;$ d’où il suit qu’elle est vraie aussi pour $n=4.$ Supposons ensuite $n=5$, elle se trouvera vraie pour tous les nombres inférieurs ; d’où l’on sera fondé à conclure qu’elle est également vraie pour celui-là, et ainsi de suite ; cette proposition est donc générale, c’est-à-dire que, dans quelque ordre que l’on différentie successivement une fonction de tant de variables qu’on voudra, par rapport à un nombre quelconque d’entre elles, on parviendra toujours au même résultat final^[1].

Il suit de là que, tandis qu’une fonction d’une seule variable n’a, dans chaque ordre, qu’un seul coefficient différentiel, savoir :

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{4}}},\ldots \,;$

une fonction de deux variables $x$ et $y$ a, dans le premier ordre, deux coefficiens différentiels, savoir :

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}},\quad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\,;$

dans le second, trois ; savoir :

1. Nous avions déjà indiqué ce tour de démonstration (Annales, tom. I, pag. 57).