![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} Q}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} R}}{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c702f4168de7045276b07f8a08fed22b7a35e4)
(55)
et ainsi de suites c’est-à-dire que le coefficient différentiel d’une fonction de plusieurs quantités qui sont elles-mêmes des fonctions d’une même variable s’obtient en prenant la somme des produits respectifs des coefficiens différentiels partiels de la fonction, relatifs à ces diverses quantités, par les coefficiens différentiels de ces mêmes quantités, relatifs à la variable.
Soit
une fonction donnée quelconque de deux variables
et
et soit
une fonction donnée quelconque de
si l’on suppose que
et
se changent respectivement en
et
deviendra (48)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}P+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}&+{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+\ldots \\\\+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}&+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}{\frac {gh}{1.2}}+\ldots \\\\&+{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {h^{2}}{1.2}}+\ldots \,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6177c73c16be1f3ae4dba0d99e94892a57650a)
de sorte qu’en représentant par
son accroissement, on aura
![{\displaystyle G={\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}{\frac {gh}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {h^{2}}{1.2}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57029912a4bc021bbe3a01dbbec5b23a0b939139)
mais
devenant ainsi
doit devenir (45)
![{\displaystyle S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {G}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} P^{2}}}{\frac {G^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} P^{3}}}{\frac {G^{3}}{1.2.3}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cee43753c338590cfcbb0af1fde4751f924466)
ou, en mettant pour
sa valeur, dévelbppant et ordonnant,