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${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} Q}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} R}}{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}},\qquad$(55)

et ainsi de suites c’est-à-dire que le coefficient différentiel d’une fonction de plusieurs quantités qui sont elles-mêmes des fonctions d’une même variable s’obtient en prenant la somme des produits respectifs des coefficiens différentiels partiels de la fonction, relatifs à ces diverses quantités, par les coefficiens différentiels de ces mêmes quantités, relatifs à la variable.

Soit $P$ une fonction donnée quelconque de deux variables $x$ et $y,$ et soit $S$ une fonction donnée quelconque de $P\,;$ si l’on suppose que $x$ et $y$ se changent respectivement en $x+g$ et $y+h,\ P$ deviendra (48)

${\begin{alignedat}{1}P+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}&+{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+\ldots \\\\+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}&+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}{\frac {gh}{1.2}}+\ldots \\\\&+{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {h^{2}}{1.2}}+\ldots \,;\end{alignedat}}$

de sorte qu’en représentant par $G$ son accroissement, on aura

$G={\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}{\frac {gh}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {h^{2}}{1.2}}+\ldots \,;$

mais $P$ devenant ainsi $P+G,\ S$ doit devenir (45)

$S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {G}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} P^{2}}}{\frac {G^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} P^{3}}}{\frac {G^{3}}{1.2.3}}+\ldots \,;$

ou, en mettant pour $G$ sa valeur, dévelbppant et ordonnant,