Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/279

${\begin{alignedat}{1}S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}&+\left\{{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} P^{2}}}\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}\right\}{\frac {g^{2}}{1.2}}+\ldots \\\\+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}&+2\left\{{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} P^{2}}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\right\}{\frac {gh}{1.2}}+\ldots \\\\&+\left\{{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} y^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} P^{2}}}\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\right)^{2}\right\}{\frac {h^{2}}{1.2}}+\ldots \end{alignedat}}$

mais, d’un autre côté, $S$ étant, par l’intermédiaire de $P,$ fonction de $x$ et $y$, doit, dans les mêmes circonstances, devenir

${\begin{alignedat}{1}S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}&+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+\ldots \\\\+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}&+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}{\frac {gh}{1.2}}+\ldots \\\\&+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {h^{2}}{1.2}}+\ldots \,;\end{alignedat}}$

voilà donc deux développemens qui, quels que soient la grandeur et le rapport des deux accroissemens $g$ et $h,$ doivent être identiquement les mêmes ; ce qui donne

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\,;\qquad$(56)

c’est-à-dire que les coefficiens différentiels partiels d’une fonction d’une quantité qui est elle-même fonction de deux variables, s’obtient en multipliant respectivement le coefficient différentiel de la fonction, par rapport à cette quantité, par les coefficiens différentiels partiels de cette quantité relatifs aux deux variables.

Soient $P$ et $Q$ deux fonctions données quelconques de deux variables $x$ et $y,$ et soit $S$ une fonction donnée quelconque de $P$