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Soient $\mathrm {A,B,C}$ les trois sommets du triangle donné et $\mathrm {O}$ le point cherché ; posons,

${\begin{array}{lll}\mathrm {BC} =a,&\mathrm {CA} =b,&\mathrm {AB} =c,\\\mathrm {OA} =x,&\mathrm {OB} =y,&\mathrm {OC} =z\,;\end{array}}$

en vertu des formules fondamentales de la trigonométrie rectiligne, on aura

$\left.{\begin{array}{ll}\mathrm {Triangle\ BOC} ,&\qquad y^{2}+yz+z^{2}=a^{2},\\\mathrm {Triangle\ COA} ,&\qquad z^{2}+zx+x^{2}=b^{2},\\\mathrm {Triangle\ AOB} ,&\qquad x^{2}+xy+y^{2}=c^{2}.\end{array}}\right\}\quad$(1)

Ces équations pourraient suffire, à la rigueur, pour résoudre le problème ; en éliminant entre elles deux des inconnues, on obtiendrait pour la troisième une équation du quatrième degré, se résolvant à la manière de celles du second ; mais cette équation serait excessivement compliquée. Nous éluderons cette difficulté en recourant à une équation auxiliaire.

Les droites $\mathrm {OA,OB,OC}$ partagent le triangle $\mathrm {ABC}$ en trois autres, dont la somme des aires est égale à la sienne ; or, ces aires sont

${\begin{array}{ll}\mathrm {pour\ BOC} ,&\qquad {\frac {yz{\sqrt {3}}}{4}},\\\\\mathrm {pour\ COA} ,&\qquad {\frac {xz{\sqrt {3}}}{4}},\\\\\mathrm {pour\ AOB} ,&\qquad {\frac {xy{\sqrt {3}}}{4}}\,;\end{array}}$

de sorte qu’en désignant par $T$ l’aire du triangle $\mathrm {ABC,}$ on a