Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/313

$\mathrm {{\frac {OB+OC}{BC}}={\frac {OB}{A'B}}={\frac {OC}{A'C}}} \,;$

d’où

$\mathrm {A'B={\frac {OB.BC}{OB+OC}}} ={\frac {ay}{y+z}},\qquad \mathrm {A'C={\frac {OC.BC}{OB+OC}}} ={\frac {az}{y+z}}\,;$

or, on a

${\frac {y}{y+z}}={\frac {3\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+4T{\sqrt {3}}}{2\left(3a^{2}+4T{\sqrt {3}}\right)}},\quad {\frac {z}{y+z}}={\frac {3\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)+4T{\sqrt {3}}}{2\left(3a^{2}+4T{\sqrt {3}}\right)}}\,;$

donc

$A'B={\frac {3a\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+4T{\sqrt {3}}}{2\left(3a^{2}+4aT{\sqrt {3}}\right)}},\quad A'C={\frac {3a\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)+4aT{\sqrt {3}}}{2\left(3a^{2}+4T{\sqrt {3}}\right)}}\,;$

on trouvera de même

$B'C={\frac {3b\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)+4bT{\sqrt {3}}}{2\left(3b^{2}+4T{\sqrt {3}}\right)}},\quad B'A={\frac {3b\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+4bT{\sqrt {3}}}{2\left(3b^{2}+4T{\sqrt {3}}\right)}},$

$C'A={\frac {3c\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+4cT{\sqrt {3}}}{2\left(3c^{2}+4T{\sqrt {3}}\right)}},\quad C'B={\frac {3c\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+4cT{\sqrt {3}}}{2\left(3c^{2}+4T{\sqrt {3}}\right)}}.$

Une fois les trois points $A',B',C'$ déterminés, rien ne sera plus aisé que de déterminer le point $O.$

On pourrait tenter de résoudre, d’une manière analogue, les deux problèmes de trigonométrie sphérique proposés à la pag. 152 du présent volume ; mais il est présumable que les calculs en seraient excessivement compliqués. En admettant les mêmes notations que ci-dessus, les trois équations à résoudre, pour le premier, seraient

${\begin{aligned}&2\operatorname {Cos} .y\operatorname {Cos} .z-\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z=2\operatorname {Cos} .a,\\&2\operatorname {Cos} .z\operatorname {Cos} .x-\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .x=2\operatorname {Cos} .b,\\&2\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y=2\operatorname {Cos} .c.\end{aligned}}$