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QUESTIONS RÉSOLUES.

Démonstration d’un théorème d’analyse indéterminée
énoncé à la pag. 256 du précédent
volume ;

Par un Abonné.

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Théorème. Tout nombre entier est diviseur d’un nombre exprimé par une suite de $9$ suivis de plusieurs zéros.

Démonstration. Soit $n$ un nombre entier quelconque, et soit converti la fraction ${\frac {1}{n}}$ en parties décimales ; cette transformation conduira à une suite décimale périodique, laquelle pourra ensuite être convertie, suivant les principes connus, en une fraction ordinaire dont le dénominateur sera, en général, une suite de $9$ suivis de plusieurs zéros ; et cette nouvelle fraction devra être égale à la fraction irréductible ${\frac {1}{n}}$.

Or, lorsque deux fractions sont égales, et que l’une d’elle est irréductible, les deux termes de l’autre doivent être les produits des deux termes de celle-là par un même nombre entier ; donc, en particulier, le dénominateur de la seconde fraction que nous venons de voir composé d’une suite de $9$ suivis de plusieurs zéros, sera le produit de $n$ par un nombre entier ; d’où il résulte que $n$ en sera un diviseur, comme l’annonce le théorème.

On voit par là que, pour que le théorème soit généralement vrai, il faut admettre 1.^o que le nombre dont $n$ est diviseur peut être simplement l’unité suivie de plusieurs zéros ; 2.^o que ce nom-