III. D’après ce qui précède, il nous restera peu de choses à dire sur les maxima et minima des fonctions de plus de deux variables. Soit, par exemple, 
une fonction des trois variables 
, si l’on conçoit trois équations arbitraires entre ces variables et une quatrième variable 
par l’intermédiaire de ces équations, ne sera plus fonction que de la seule variable 
et, pour que cette fonction soit maximum ou minimum, il faudra d’abord, tout au moins, qu’on ait
quelles que soient les variations 
, ce qui exigera qu’on ait, à la fois
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telles seront donc les équations qui donneront les systèmes de valeurs de 
parmi lesquels seulement pourront se trouver ceux qui rendront la fonction maximum ou minimum, si toute-fois elle est susceptible de le devenir.
Si un système de valeurs de , déduit de ces équations, ne rend pas identiquement nulle, quels que soient 
}, la fonction
il faudra que cette fonction conserve constamment le même signe pour toutes les valeurs de ces variations, ce qui arrivera immanquablement, si elle se résout en deux facteurs imaginaires du premiec degré. Il est aisé de s’assurer que cela exige que les trois coefficiens différentiels
