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${\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} x}}={\frac {1}{U}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}},\qquad {\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} y}}={\frac {1}{T}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}\,;$

d’où résulte, en substituant

${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} s^{2}}}=(T\delta x+U\delta y)\left({\frac {\delta x}{U}}+{\frac {\delta y}{T}}\right)+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}={\frac {1}{TU}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}(T\delta x+U\delta y)^{2}\,;$

la fonction ${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} s^{2}}}$ aura donc deux facteurs égaux du premier degré, et conséquemment la condition (7) se trouvera remplie. Il est clait d’ailleurs que le facteur $T\delta x+U\delta y$ devra se trouver dans ${\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} s^{3}}}\,;$ mais à la première puissance seulement.

Comme ici, pour tous Ifcs systèmes de valeurs de $x$ et $y$ déduits de l’équation $F=0,$ on aura toujours la même valeur pour $S$ ; on voit que, si l’on exigeait, pour le maximum de $S,$ que les valeurs consécutives fussent toutes plus petites, et pour son minimum qu’elles fussent toutes plus grandes, il n’y aurait proprement alors ni maximum ni minimum ; mais si l’on exige seulement, pour le maximum de $S$, qu’aucune valeur consécutive ne soit plus grande, et pour son minimum qu’aucune d’elles ne soit plus petite, il y aura vraiment maximum ou minimum. Tout dépendra donc de l’idée, fort arbitraire d’ailleurs, qu’on voudra attacher à ces deux mots.

Ce cas singulier a été signalé, pour la première fois, par M. F. F. Français (Annales, tom. III, pag. 32) qui a ainsi prouvé le premier que la condition (5) n’était pas toujours nécessaire ; mais on voit que cet habile professeur n’avait aperçu qu’un côté de la question^[1].

1. Le cas signalé par M. Français est celui ou la surface dont $S$ est l’ordonnée est touchée dans toute l’étendue d’une ligne droite ou courbe par un plan parallèle à celui des $xy.$