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ce qui ne nous donnerait toujours que cinq chiffres décimaux exacts du logarithme de $5{,}8321.$

Retournons présentement au cas général et soit ${\frac {a}{b}}$ la dernière réduite, dont les termes, ou du moins aucun de leurs facteurs premiers, n’excèdent les limites des tables. Soit posé

${\frac {A}{10^{n}}}={\frac {a}{b}}\left({\frac {1+x}{1-x}}\right)\,;\qquad$(1)

il en résultera

$x={\frac {Ab-10^{n}.a}{Ab+10^{n}.a}}.$

Il est facile de voir que $x$ sera une quantité fort petite, car sa valeur peut être écrite comme il suit :

$x={\frac {{\frac {A}{10^{n}}}-{\frac {a}{b}}}{{\frac {A}{10^{n}}}+{\frac {a}{b}}}}\,;$

or, on sait que

${\frac {A}{10^{n}}}-{\frac {a}{b}}<{\frac {1}{b^{2}}},$

d’où résulte

$x<{\frac {1}{b^{2}\left({\frac {A}{10^{n}}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\,;$

et comme on a aussi

${\frac {A}{10^{n}}}+{\frac {a}{b}}>1,$

en aura, à plus fort raison,