ce qui ne nous donnerait toujours que cinq chiffres décimaux exacts du logarithme de ![{\displaystyle 5{,}8321.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3c14138d64094e74ffdf885538b1b52c69423b)
Retournons présentement au cas général et soit
la dernière réduite, dont les termes, ou du moins aucun de leurs facteurs premiers, n’excèdent les limites des tables. Soit posé
![{\displaystyle {\frac {A}{10^{n}}}={\frac {a}{b}}\left({\frac {1+x}{1-x}}\right)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e057366e3e4793eb0e5ad3b10b4d6a2d06a154a)
(1)
il en résultera
![{\displaystyle x={\frac {Ab-10^{n}.a}{Ab+10^{n}.a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4efb2a5659ee188be7d7f561f8a8a319cd39382c)
Il est facile de voir que
sera une quantité fort petite, car sa valeur peut être écrite comme il suit :
![{\displaystyle x={\frac {{\frac {A}{10^{n}}}-{\frac {a}{b}}}{{\frac {A}{10^{n}}}+{\frac {a}{b}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024b1ef4238bfd762fc3bd6ab21a919792fdbfaa)
or, on sait que
![{\displaystyle {\frac {A}{10^{n}}}-{\frac {a}{b}}<{\frac {1}{b^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80e9534a8eab72eb4abc45ed483b76734830198)
d’où résulte
![{\displaystyle x<{\frac {1}{b^{2}\left({\frac {A}{10^{n}}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1db43d1df26086dbeccf850a2fc53c5e2e51918d)
et comme on a aussi
![{\displaystyle {\frac {A}{10^{n}}}+{\frac {a}{b}}>1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93120680f1915b3bfb3f99905bdc7b7f86024cc)
en aura, à plus fort raison,