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$y+4n^{2}=4n^{2},\qquad y+4n^{2}={\frac {2(32n^{6}-6n^{2}+1)}{3(4n^{2}-1)}}\,;$

d’où

$S_{3}=\left(4n^{3}\right)^{3},\qquad S_{3}=\left\{{\frac {2n(32n^{6}-6n^{2}+1)}{3(4n^{2}-1)}}\right\}^{3}$

Présentement, la valeur de $x$ en $y$ devient

$x={\frac {y-m}{2}}={\frac {y-8n^{3}}{2}}\,;$

d’où, en substituant, tour à tour, les deux valeurs de $y$

$x=-4n^{3},\qquad x={\frac {32n^{6}+48n^{5}-24n^{4}-12n^{3}+1}{3(4n^{2}-1)}}.$

Dans le cas particulier de la question proposée on a $n=5$ ; il en résulte,

${\begin{array}{ll}x=-500,&x=1133,\\S_{3}=(500)^{3},&S_{3}=(16830)^{3}\end{array}}$

on a, en conséquence,

${\begin{array}{ll}x+1=-499,&x+1=1134,\\x+1000=+500,&x+1000=2133\,;\end{array}}$

et conséquemment,

$(-499)^{3}+(-498)^{3}+(-497)^{3}+\ldots +(+497)^{3}+(+498)^{3}+(+499)^{3}$

$+(+500)^{3}=(500)^{3},$

$(1134)^{3}+(1135)^{3}+(1136)^{3}+\ldots +(2131)^{3}+(2132)^{3}+(2133)^{3}$

$=(16830)^{3}\,;$

le premier de ces résultats est d’ailleurs évident de lui-même, puisque tous les cubes qui précèdent le dernier se détruisent deux à deux par l’opposiûon des signes.

Il est possible que le problème admette encore d’autres solutions ; mais il est probable qu’on ne pourrait les déduire que d’une analyse très-laborieuse.

fin du vingtième volume.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Correction (dernière égalité) : « $(2131)^{3}+(2131)^{3}+$ » → « $(2131)^{3}+(2132)^{3}+$ » (coquille)