![{\displaystyle y+4n^{2}=4n^{2},\qquad y+4n^{2}={\frac {2(32n^{6}-6n^{2}+1)}{3(4n^{2}-1)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cf2fa7feba2b59f33fc0d996cec0cf48d78630)
d’où
![{\displaystyle S_{3}=\left(4n^{3}\right)^{3},\qquad S_{3}=\left\{{\frac {2n(32n^{6}-6n^{2}+1)}{3(4n^{2}-1)}}\right\}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fce45ee227cb12f32025847d608d9bda9665dc)
Présentement, la valeur de
en
devient
![{\displaystyle x={\frac {y-m}{2}}={\frac {y-8n^{3}}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa25929b98b440b46dfe1de07b77007890836302)
d’où, en substituant, tour à tour, les deux valeurs de ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
![{\displaystyle x=-4n^{3},\qquad x={\frac {32n^{6}+48n^{5}-24n^{4}-12n^{3}+1}{3(4n^{2}-1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31479c97db574339911b2a955cfe01d0533cd9af)
Dans le cas particulier de la question proposée on a
; il en résulte,
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}x=-500,&x=1133,\\S_{3}=(500)^{3},&S_{3}=(16830)^{3}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ed174b2a2fbd7ef77efa1f8fbe4afb6434ea95)
on a, en conséquence,
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}x+1=-499,&x+1=1134,\\x+1000=+500,&x+1000=2133\,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130dbe507f0dd68443faad16aa9c0bb269071a6b)
et conséquemment,
![{\displaystyle (-499)^{3}+(-498)^{3}+(-497)^{3}+\ldots +(+497)^{3}+(+498)^{3}+(+499)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec5848f0be687b25515212415b9e65b1478de164)
![{\displaystyle +(+500)^{3}=(500)^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6595d5f13fd377ca6c0cf148868a5ff38a3ece6a)
![{\displaystyle (1134)^{3}+(1135)^{3}+(1136)^{3}+\ldots +(2131)^{3}+(2132)^{3}+(2133)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59dd08df1b84403f67ae8cbe5d4d0e3c5a9a1acf)
![{\displaystyle =(16830)^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65bb301fafc94553b3dcb95f346a5f26cf6a6b44)
le premier de ces résultats est d’ailleurs évident de lui-même, puisque tous les cubes qui précèdent le dernier se détruisent deux à deux par l’opposiûon des signes.
Il est possible que le problème admette encore d’autres solutions ; mais il est probable qu’on ne pourrait les déduire que d’une analyse très-laborieuse.
fin du vingtième volume.
Correction (dernière égalité) : «
» → «
» (coquille)