Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/142

Soit $v,$ une nouvelle variable. Posons $u=v\operatorname {F} (r)$ ; il en résultera

${\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} x^{2}}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}v}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {F} (x)+2{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {F} (x)}{\operatorname {d} x}}+v{\frac {\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} (x)}{\operatorname {d} x^{2}}}.$

En substituant ces valeurs dans l’équation (1), elle deviendra

${\frac {\operatorname {d} ^{2}v}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {F} (x)+2{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {F} (x)}{\operatorname {d} x}}+v{\frac {\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} (x)}{\operatorname {d} x^{2}}}=v.{\frac {\varepsilon \operatorname {f} (x)}{K\omega }}.\operatorname {F} (x)\,;$

et se réduira à

${\frac {\operatorname {d} ^{2}v}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {F} (x)+2{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {F} (x)}{\operatorname {d} x}}=0.$

On a donc, sur-le-champ,

$v=C\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {F} ^{2}(x)}}+C',$

où $C$ et $C'$ sont les constantes arbitraires. Multipliant par $\operatorname {F} (x)$ la valeur de $v$, on obtient la valeur de $u\,;$ savoir :

$u=\operatorname {F} (x)\left\{C\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {F} ^{2}(x)}}+C'\right\}.$

Ainsi donc, comme nous l’avons dit, le problème général du mouvement linéaire et permanent de la chaleur se traite sans difficulté, quand on sait le résoudre pour un état particulier des extrémités de la barre.

iv. Mais, si l’on ne connaît pas $\operatorname {F} (x)$ et que le pouvoir rayonnant $\operatorname {f} (x),$ au contraire, soit déterminé par un moyen quelconque, il faudra recourir à des calculs d’une autre nature. Une considération qui se présente d’abord nous dirigera dans la marche que nous devons prendre. Nous admettrons que la fonction