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$u_{\mu }=A_{\mu }\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\alpha }{3}}}.\alpha ^{-{\frac {2}{3}}}\left(e^{z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}+2e^{-{\frac {z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}{2}}}.\operatorname {Cos} .{\frac {z{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{\alpha }}}{2}}\right)\operatorname {d} \alpha$

$+B_{\mu }\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\alpha }{3}}}.\alpha ^{-{\frac {2}{3}}}\left[e^{z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}-e^{-{\frac {z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}{2}}}.\left(\operatorname {Cos} .{\frac {z{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{\alpha }}}{2}}-{\sqrt {3}}.\operatorname {Sin} .{\frac {z{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{\alpha }}}{2}}\right)\right]\operatorname {d} \alpha ,$

qui est l’équivalent de la première, de laquelle elle se déduit en remplaçant $\rho$ et $\rho ^{2}$ respectivement par ${\frac {-1+{\sqrt {3}}}{2}}$ et ${\frac {-1-{\sqrt {3}}}{2}},$ puis substituant aux exponentiels imaginaires les fonctions circulaires équivalentes.

x. Reprenons présentement l’équation

(2)$\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{\mu }}{\operatorname {d} x^{2}}}=\left(p_{\mu }+q_{\mu }x\right)u_{\mu },$

et rappelons-nous qu’en posant $p_{\mu }+q_{\mu }x=zq_{\mu }^{\frac {2}{3}}$, nous l’avons transformée en

(3)$\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{\mu }}{\operatorname {d} z^{2}}}=z.u_{\mu }.$

L’intégrale de l’équation (2) est, par conséquent,

$u_{\mu }=A_{\mu }\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\alpha }{3}}}.\alpha ^{-{\frac {2}{3}}}\times$

$\left[e^{{\frac {p_{\mu }+q_{\mu }x}{q_{\mu }^{\frac {2}{3}}}}{\sqrt[{3}]{\alpha }}}+2e^{-{\frac {p_{\mu }+q_{\mu }x}{2q_{\mu }^{\frac {2}{3}}}}{\sqrt[{3}]{\alpha }}}.\operatorname {Cos} .{\frac {p_{\mu }+q_{\mu }x}{2q_{\mu }^{\frac {2}{3}}}}{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{\alpha }}\right]\operatorname {d} \alpha$

$+B_{\mu }\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\alpha }{3}}}.\alpha ^{-{\frac {2}{3}}}\times$

$\left[e^{{\frac {p_{\mu }+q_{\mu }x}{q_{\mu }^{\frac {2}{3}}}}{\sqrt[{3}]{\alpha }}}-e^{-{\frac {p_{\mu }+q_{\mu }x}{2q_{\mu }^{\frac {2}{3}}}}{\sqrt[{3}]{\alpha }}}\left(\operatorname {Cos} .{\frac {p_{\mu }+q_{\mu }x}{2q_{\mu }^{\frac {2}{3}}}}{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{\alpha }}-{\sqrt {3}}\operatorname {Sin} .{\frac {p_{\mu }+q_{\mu }x}{2q_{\mu }^{\frac {2}{3}}}}{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{\alpha }}\right)\right]\operatorname {d} \alpha$