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Cette intégrale résout la question proposée, ou du moins, en vertu de l’art. iv, elle réduit le problème à la résolution de $2n$ équations du premier degré, qui doivent déterminer les constantes arbitraires.

La résolution de ces équations est de la plus grande simplicité. On part des deux secondes

$u_{1}=u_{2},\qquad {\frac {\operatorname {d} u_{1}}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} u_{2}}{\operatorname {d} x}},\quad$pour$\quad x={\frac {l}{n}}.$

Elles contiennent quatre constantes $A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},$ et servent également à déterminer les deux dernières au moyen des deux premières. Les deux suivantes

$u_{2}=u_{3},\qquad {\frac {\operatorname {d} u_{2}}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} u_{3}}{\operatorname {d} x}},\quad$pour$\quad x=2{\frac {l}{n}},$

donnent $A_{3},B_{3}$ en $A_{2},B_{2},$ d’où ensuite en $A_{1},B_{1},$ et ainsi des autres jusqu’aux deux avant-dernières

$u_{n-1}=u_{n},\qquad {\frac {\operatorname {d} u_{n-1}}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} u_{n}}{\operatorname {d} x}},\quad$pour$\quad x=(n-1){\frac {l}{n}}.$

Celles-ci fournissant $A_{n},B_{n},$ on substitue les dernières valeurs dans l’égalité $u_{n}=\theta ',$ pour $x=l,$ qui dès lors ne contient plus que $A_{1},B_{1},$ et qui, jointe à la première $u_{1}=\theta ,$ pour $x=0$, fait connaître ces deux constantes dont toutes les autres dépendent.

La question se réduit à trouver $A_{\mu +1},B_{\mu +1},$ en fonction de $A_{\mu },B_{\mu }$ par le secours des équations

$u_{\mu }=u_{\mu +1},\qquad {\frac {\operatorname {d} u_{\mu }}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} u_{\mu +1}}{\operatorname {d} x}},\quad$pour$\quad x=\mu {\frac {l}{n}}.$

En désignant par $U_{\mu }$ et $V_{\mu }$ les deux valeurs particulières de $u_{\mu }$ obtenues aux art. vii et viii, on a, comme à l’art. x,