valeurs de
à
; Donc aussi l’équation
a toutes ses racines réelles, positives et fournies par la formule
dans laquelle on doit faire varier le nombre entier
depuis
jusqu’à
La valeur de
ne répond plus alors à
, mais à ![{\displaystyle y'=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0ecde643345068df07a11081fb2ce8b2e83b55)
Quand
n’est pas un nombre donné, mais une fonction variable, entre les limites
et
on conçoit une valeur moyenne représentée par
et telle que, si l’on pose
on trouvera exactement la valeur de
. En adoptant cette idée, on obtient
![{\displaystyle y=1-{\frac {m-P_{m}}{1.2.3}}+{\frac {(m-P_{m})^{3}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {(m-P_{m})^{5}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f0093c3e2984f17839809ffc62841df4213156)
La quantité
n’est pas absolument constante. C’est une fonction de
qui peut changer en même temps que cette abscisse ; mais ses variations ne sont point arbitraires ; elle ne peut pas croître indéfiniment, puisque la fonction
est comprise entre deux limites finies
et
Cela admis, on met l’expression de
sous la forme suivante :
![{\displaystyle y={\frac {\operatorname {Sin} .{\sqrt {m-P_{m}}}}{\sqrt {m-P_{m}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049d9b8aa1090557721b96055290e06e79e71bda)
et les racines
se trouvent données par la formule
où le nombre entier
varie de l’unité à l’infini. Cette dernière égalité est toujours possible. Soit, par exemple,
je dis qu’on peut avoir
et le même genre de démonstration sera applicable à une valeur quelconque de
. En effet, le second membre est renfermé entre des limites désignées, puisque cela a lieu pour
et que
est constant. Le premier, au contraire, est absolument quelconque. Donc il existe un nombre
, tel que, si l’on fait
cette équation sera satisfaite et aussi l’équation ![{\displaystyle y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9bd6ae8686fc84f378d56cc491c7113fb947cd5)
Donc enfin l’équation
dans le cas le plus général, a