points de la seconde courbe sera le centre de l’un des arcs de cercles infiniment petits dont la première pourra être réputée l’assemblage ; cet arc se trouvant situé à l’intersection de la première courbe avec la tangente menée à la seconde par ce même point ; et la longueur de cette tangente, terminée à ces deux points, sera le rayon de cet arc.
Ainsi, en résumé, toute courbe donnée peut être considérée comme composée d’arcs de cercles infiniment petits, de ravons continuellement croissans ou dccroissans, se touchant consécutivement ; le cercle dont un quelconque de ces arcs fait partie, et qui a évidemment même courbure que cet arc lui-même, est ce que nous avons appelé le cercle osculateur de la courbe en ce point ; et l’on voit qu’en général il doit toucher et couper à la courbe, c’est-à-dire qu’il doit l’envelopper d’une part et en être, au contraire, enveloppé de l’autre. Le centre de ce cercle qui est, en même temps, le centre de courbure de la courbe en ce même point, n’est autre que le point de contact de la normale en ce point avec la courbe à laquelle toutes les normales sont tangentes ; courbe qui est dite la développée de la proposée, et qui est évidemment le lieu géométrique des centres de courbure de tous ses points ; enfin son rayon de courbure, en un point quelconque, n’est autre que la normale qui répond à ce point, terminée à son point de contact avec la développée.
Dans les points où la courbure de la courbe après avoir cru, commence à décroître, c’est-à-dire, dans les points où cette courbure est maximum, et, par suite, le rayon de courbure minimum, le cercle osculateur est évidemment enveloppé par la courbe, de part et d’autre du point de contact ; mais dans les points où, au contraire, cette courbure est minimum, et, par suite, le rayon de courbure maximum, c’est au contraire le cercle osculateur qui enveloppe la courbe de part et d’autre du point de contact ; de sorte que, dans l’un comme dans l’autre cas, le cercle osculateur touche la courbe sans la couper.
