On peut encore envisager la chose sous un autre point de vue qui conduit exactement aux mêmes conséquences.
Soit l’un quelconque des points d’une courbe plane, par lequel soit menée à cetie courbe une normale indéfinie. De l’un quelconque des points de cette normale pris pour centre ; et avec la distance pour rayon, soit décrit un cercle ; ce cercle aura évidemment, au point même tangente que la courbe ; et, pour cette raison, on dira qu’il lui est tangent en ce point ; d’où l’on voit, à cause de l’indétermination du point sur la normale, qu’une courbe peut avoir, en chacun de ses points, une infinité de cercles qui lui soient tangens en ce point, lesquels, comme l’on voit, ont tous leur centre sur la normale à la courbe au même point.
De tous les cerles qui touchent la proposée en ne considérons que la série de ceux qui ont leur centre du côté de la concavité de cette courbe, et qui ont conséquemment leur courbure dans le même sens que la sienne. On pourra toujours, pour l’un d’eux, prendre le point assez voisin du point pour que ce cercle, du moins dans le voisinage du point de contact, soit, de part et d’autre de ce point, enveloppé par la courbe. On pourra toujours, au contraire, pour un autre cercle, éloigner assez le point du point pour que, de part et d’autre du point de contact, ce soit le cercle qui enveloppe la courbe.
Si l’on conçoit ensuite que l’on fasse marcher le point sur la normale, entre ces deux positions, on devra rencontrer une position intermédiaire pour laquelle le cercle tangent aura, à la fois, une courbure plus grande que celle de la courbe d’un côté du point mais moindre que la courbure de cette courbe de l’autre côté de ce point. Un tel cercle tangent sera donc enveloppé par courbe, d’un côté du point de contact, tandis qu’au contraire ce sera lui qui l’enveloppera de l’autre côté de ce point ; il sera donc, à la fois, tangent et sécant à la courbure au point et sera conséquemment le cercle osculaleur de cette courbe en ce point. Sou centre et son, rayon en seront donc, pour le même
