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substituer dans l’équation (b), et ayant égard à l’équation (a), on trouvera pour la courbe qui coupe la proposée aux points où elle est touchée par des tangentes communes à deux de ses branches,

$B(Ax+Cy+D)^{2}-2C(Ax+Cy+D)(By+Cx+E)$

$+A(By+Cx+E)=0\,;\qquad$(g)

équation qui appartient aux deux asymptotes si la courbe est une hyperbole, et qui n’exprime rien dans le cas contraire. Les asymptotes d’une hyperbole sont, en effet, des tangentes communes à ses deux branches.

La formule (27) donne, pour l’équation de la normale à la courbe (a), par le point $(x',y'),$ pris sur cette courbe,

$(B'y+Cx'+E)(x-x')-(Ax'+Cy'+D)(y-y')=0\,;\qquad$(h)

les deux constantes $x',y'$ étant liées entre elles par la relation (b).

D’après la formule (28), l’équation

$(By+Cx+E)(x-a)-(Ax+Cy+D)(y-b)=0,\qquad$(i)

est celle d’une courbe coupant la courbe (a) aux pieds de toutes les normales qui peuvent lui être menées par le point $(a,b)$ de son plan ; et comme cette équation du second degré n’est point, en général, susceptible d’abaissement, il s’ensuit que, de l’un quelconque des points du plan d’une ligne du second ordre, on peut, généralement parlant, abaisser jusqu’à quatre normales à cette courbe.

La formule (29) donne l’équation

$(bA-aC)x-(aB-bC)y+(bD-aE)=0,\qquad$(k)

pour celle d’une droite qui coupe la courbe (a) aux pieds de tou-