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tes les normales qui peuvent lui être menées parallèlement à une droite donnée par l’équation

${\frac {x}{a}}={\frac {y}{b}}\,;$

ces normales sont donc au nombre de deux seulement.

D’après la formule (31), si l’on veut mener une normale commune à deux branches de la courbe (a), on aura, pour déterminer les deux points $(x,y),(x',y')$ de cette courbe où elle se termine, outre les équations (a) et (b), la double équation

${\frac {Ax+Cy+D}{Ax'+Cy'+D}}={\frac {By+Cx+E}{By'+Cx'+E}}$

$={\frac {x(By+Cx+E)-y(Ax+Cy+D)}{x'(By'+Cx'+E)-y'(Ax'+Cy'+D)}}\,;$

entre laquelle et l’équation (b), éliminant $x'$ et $y',$ et ayant égard à l’équation (a), on obtiendra pour solution du problème l’équation

$\left.{\begin{aligned}&(By+Cx+E)\left\{A(Ax+Cy+D)+C(By+Cx+E)\right\}\\-&(Ax+Cy+D)\left\{B(By+Cx+E)+C(Ax+Cy+D)\right\}\end{aligned}}\right\}=0\,;$ (l)

équation que l’on reconnaîtra facilement, pour celle des deux diamètres principaux de la courbe (a) ; lesquels sont, en effet, les deux seules normales communes à deux branches de cette courbe.

Les formules (32) et (35) montrent que, pour que la courbe (a) ait des points doubles, il faut qu’on ait à la fois

$Ax+Cy+D=0,\qquad By+Cx+E=0\,;\qquad$(m)

mais l’équation (a) pouvant être écrite ainsi,

$x(Ax+Cy+D)+y(By+Cx+E)+(Dx+Ey+F)=0$

les deux autres la réduisent simplement à