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$Dx+Ey+F=0\,;$

éliminant donc $x$ et $y$ entre ces trois équations, on trouvera, pour la condition qui fait acquérir des points doubles à la courbe (a),

$D(BD-CE)+E(AE-CD)+F(C^{2}-AB)=0\,;\qquad$(n)

cette équation étant supposée satisfaite, les points doubles seront donnés par les équations (m) ; d’où l’on voit qu’il n’y en aura jamais plus d’un. Il y aura d’ailleurs, en ce point, deux branches de courbe qui se couperont ou se toucheront, ou bien ce point sera tout à fait isolé (35) suivant que la quantité

$C^{2}-AB,$

sera positive, nulle ou négative. On reconnaît, en effet, que les équations (m) sont celles du centre de la courbe (a) et que la condition (n) est celle qui exprime que cette courbe se réduit à son centre ou à deux droites qui se coupent en ce point. Quant aux points triples, il est visible qu’une ligne du second ordre n’en saurait offrir.

Les formules (50) donnent pour les équations du centre de courbure de la courbe (a), en un quelconque $(x',y')$ de ses points,s

$\left.{\begin{aligned}&x=x'-\\&{\frac {(Ax'+Cy'+D)\left\{(Ax'+Cy'+D)^{2}+(By'+Cx'+E)^{2}\right\}}{A(By'+Cx'+E)^{2}-2C(Ax'+Cy'+D)(By'+Cx'+E)+B(Ax'+Cy'+D)^{2}}},\\\\&y=y'-\\&{\frac {(By'+Cx'+E)\left\{(Ax'+Cy'+D)^{2}+(By'+Cx'+E)^{2}\right\}}{A(By'+Cx'+E)^{2}-2C(Ax'+Cy'+D)(By'+Cx'+E)+B(Ax'+Cy'+D)^{2}}}\,;\end{aligned}}\right\}$

et pour son rayon de courbure en$(x,y)$,