Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/7

${\begin{aligned}&{\begin{array}{r|}0={\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}t\\\\+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}u\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{r|}{\frac {1}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}t^{2}\\\\+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}tu\\\\+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}u^{2}\end{array}}\\&{\begin{aligned}\ \\\\\ \\\\\ \\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{r|}{\frac {1}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{3}}}t^{3}\\\\+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'}}t^{2}u\\\\+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{2}}}tu^{2}\\\\+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} y'^{3}}}u^{3}\end{array}}\\&{\begin{aligned}\ \\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}\left.{\begin{array}{r}{\frac {1}{1.2.3}}+\ldots \\\\+\ldots \\\\\\+\ldots \\\\\\+\ldots \\\\+\ldots \end{array}}\right\}\,;$ (4)

et telle sera conséquemment l’équation de la courbe (1), rapportée aux nouveaux axes ; équation dans laquelle $x'$ et $y'$ sont deux constantes indéterminées, équivalentes à une seule, attendu qu’elles sont liées par la relation (2). On repassera, d’ailleurs, au système primitif au moyen des équations (3) qui donnent

$t=x-x',\qquad u=y-y'\qquad$(5)

L’équation (4) peut être regardée comme fondamentale dans toute la théorie qui va nous occuper.

II. Si l’on ne veut considérer qu’un très-petit arc de la courbe, s’étendant fort peu de part et d’autre de l’origine des $t$ et $u\,;$ pour tous les points de cet arc, $t$ et $u$ seront de fort petites quantités ; de sorte qu’on pourra, sans erreur sensible, négliger, dans l’équation (4), les termes de plus d’une dimension, par rapport à ces variables ; la suppression de ces termes aura, au surplus, d’autant moins d’influence que l’arc considéré sera plus petit. Ainsi, plus il sera petit et plus il tendra à avoir pour équation

${\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}t+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}u=0\,;\qquad$(6)