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xi. Au reste, la courbe représentée par l’équation

$r={\frac {k}{\operatorname {Cos} .p\omega '}}=kS{\acute {e}}.p\omega ',$

peut être algébrique ou transcendante, en coordonnées rectangulaires. Elle sera évidemment algébrique si $p$ est une fraction rationnelle. Soit, par exemple, $\mu ={\frac {3}{4}}c^{2},\ p={\frac {1}{2}}\,;$ donc

$r={\frac {k}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}\omega '}}={\frac {k{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\operatorname {Cos} .\omega '}}}.$

On passe des coordonnées polaires $r,\omega '$ aux coordonnées rectangulaires qui ont la même origine, et où $\mathrm {OD}$ est l’axe des $x$, en posant

$x=r\operatorname {Cos} .\omega ',\qquad y=r\operatorname {Sin} .\omega '\,;$

ce qui donne, pour l’équation transformée,

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {k{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}}}\,;$

d’où il est aisé de déduire

$y^{4}+\left(x^{2}-4k^{2}\right)y^{2}=4k^{2}\left(x^{2}-k^{2}\right),$

équation du quatrième degré mais facile à construire, parce qu’elle est résoluble comme équation du second degré, soit par rapport à $x$, soit par rapport à $y^{2}$.

La valeur de $y$ est

$y=\pm {\sqrt {{\frac {4k^{2}-x^{2}}{2}}\pm {\frac {x}{2}}{\sqrt {x^{2}+8k^{2}}}}}\,;$