![{\displaystyle \left.{\begin{alignedat}{2}R&={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\right)}},&R&=-{\frac {\operatorname {d} rxy}{\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\right)}},\\\\R&={\frac {\operatorname {d} s^{3}\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y^{2}.\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}\right)}},&R&=-{\frac {\operatorname {d} s^{3}\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x^{2}.\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}\right)}},\\\\R&={\frac {\operatorname {d} s^{2}\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y^{2}.\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} y}}\right)}},&\qquad R&=-{\frac {\operatorname {d} s^{2}\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x^{2}.\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)}}.\end{alignedat}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6fcc0f8f74f0e5ff8133222e6fd3a7aceea95ec)
(4)
Pour avoir les expressions au rayon de courbure relatives aux coordonnées polaires, soit
(fig. 6) un point pris arbitrairement sur le plan de la courbe
; soit
une droite fixe menée arbitrairement par le point
Un quelconque
des points de la courbe sera déterminé par l’angle
et par la distance
du point
au point
L’angle
et la longueur
sont les coordonnées polaires du point
Les points
étant supposés les analogues de ceux de même dénomination de la figure 5 ; si l’on mène à la courbe des tangentes par ces deux points ; que l’on désigne par
l’angle que fait la tangente au point
avec le rayon vecteur
et par
l’angle que fait la tangente au point
avec le rayon vecteur consécutif
on aura, par les principes du calcul différentiel,
Soit de plus
on aura, en désignant par
le point de concours de
et
![{\displaystyle \operatorname {Ang} .\mathrm {ODC=D} n'\mathrm {C+DC} n'=90^{\circ }-\varphi -\operatorname {d} \varphi +\mathrm {DC} n',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11fd90cef7a2a0a3cb263dc7a95de1dd9956a7fe)
![{\displaystyle \operatorname {Ang} .\mathrm {ODC=O} n\mathrm {D} +n\mathrm {OD} =90^{\circ }-\varphi +\operatorname {d} \omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263c8f04567af6139c0a93dae58021897fa095a3)
d’où
![{\displaystyle 90^{\circ }-\varphi -\operatorname {d} \varphi +\mathrm {DC} n'=90^{\circ }-\varphi +\operatorname {d} \omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c48c198f55f42ef8471ff27da09c02e2504502)
et, par conséquent,