si l’on a , les quantités et seront réelles et positives. Substituées successivement à , dans l’équation (A), elles donneront le minimum et le maximum Remarquons, en passant, que la courbe (A) s’abaissant d’abord à la droite de l’axe des , et se relevant ensuite pour s’abaisser encore, et cette fois jusqu’à l’infini, il résulte de cette ondulation que la courbe coupera l’axe des en trois points, si est négatif et positif, et ne le coupera qu’en un point, si et sont de même signe. Ayant donc calculé les expressions de et si l’on écrit et on aura ainsi les conditions nécessaires pour que l’équation (C) ait ses trois racines réelles.
Si l’on a les valeurs de et de seront imaginaires ; aucune tangente ne sera parallèle à l’axe des , et, par conséquent, la foncton ne sera susceptible ni de maximum ni de minimum. On peut observer que, dans cette hypothèse, la courbe n’ondulant pas, ne rencontrera l’axe des qu’en un point, d’où il suit que l’équation (C) aura nécessairement deux racines imaginaires.
Dans le cas très-particulier de il vient
Le calcul nous apprend qu’alors l’ordonnée minimum et l’ordonnée maximum se confondent. Il est aisé de voir que l’ordonnée est plus petite que celles qui s’élèvent à sa gauche, et plus grande que celles qui sont situées à sa droite. Ainsi, à proprement parler, cette ordonnée n’est ni un maximum ni un minimum. Seulement le point est, pour la courbe (A), un point d’inflexion. Si l’on prend ce point pour origine, c’est-à-dire, si l’on pose dans l’équation (A)
