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FORMULES.

et

$x^{2}\left[x+\alpha ^{2}+3\beta ^{2})\right]^{2}\left[x+2(\alpha ^{2}+3\beta ^{2})\right]^{2}=0$

En examinant avec attention ces équations, on aperçoit aisément que les secondes sont des transformées des premières, transformées qu’on obtient en mettant dans celles-ci $x+\alpha ^{2}+3\beta ^{2}$ à la place de $x$.

34. On peut aisément se procurer, pour le quatrième degré, deux équations complètes qui ne diffèrent entre elles que par leur dernier terme. Pour cela, prenons les équations :

$\left[x^{2}+mx+2(m-a)\right]\left[x^{2}+nx+b(n-b)\right]=0$

et

$\left[x^{2}+mx+c(m-c)\right]\left[x^{2}+nx+d(n-d)\right]=0$

ou

$\left.{\begin{array}{ll}x^{4}+(m+n)x^{3}+(mn+ma+nb-a^{2}-b^{2})x^{2}+\\(mna+mnb-na^{2}-mb^{2})x+ab(m-a)(n-b)\\\end{array}}\right\}=0$

et

$\left.{\begin{array}{ll}x^{4}+(m+n)x^{3}+(mn+mc+nd-c^{2}-d^{2})x^{2}+\\(mnc+mnd-nc^{2}-md^{2})x+cd(m-c)(n-d)\\\end{array}}\right\}=0$

qui ont leurs racines commensurables, et dont les seconds termes ont le même coefficient. Les conditions à remplir nous fourniront les équations suivantes :

$ma+nb-a^{2}-b^{2}=mc+nd-c^{2}-d^{2}$

et

$mna+mnb-na^{2}-mb^{2}=mnc+mnd-nc^{2}-md^{2}$

qui, en faisant :

$a+c=\beta ,\quad a-c=\gamma ,\quad b+d=\delta ,\quad b-d=\epsilon$

deviennent :

$\gamma m+\epsilon n-\beta \gamma -\delta \epsilon =0$

et

$\gamma mn+\epsilon mn-\beta \gamma n-\delta \epsilon m=0$