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LIMITE D’UNE SUITE DE NOMBRES
semble des contient au moins un nombre supérieur à , tous les nombres de la suite qui suivent celui-là ont la même propriété ; donc la condition (3) est vérifiée quand dépasse une certaine valeur.
Si les sont tous inférieurs à un certain nombre , on peut affirmer que la limite est un nombre fini, au plus égal à ; dans le cas contraire, est égal à .
Suites non croissantes. — De la même manière, on reconnaît qu’une suite non croissante, soit
a pour limite sa borne inférieure ; si les sont tous supérieurs à un certain nombre, est fini ; dans le cas contraire, est égal à .
14. Reprenons maintenant le cas général d’une suite de nombres quelconques
(1)
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Désignons par et les bornes supérieure et inférieure de l’ensemble des nombres
On a
Tous les nombres et appartiennent à ; soient la borne inférieure des nombres , la borne supérieure des nombres .
Je dis qu’on a . Car si on avait , il y aurait un nombre tel que ; pour certaines valeurs de , on aurait , d’où , ce qui est impossible.
est dit la plus grande limite de la suite (1), sa plus petite limite. Le nombre a les propriétés suivantes :