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LIMITE D’UNE SUITE DE NOMBRES
1o Si , les nombres de (1) sont tous, à partir d’un certain rang, inférieurs à ;
Cette double propriété ne peut appartenir qu’à un seul nombre ; elle caractérise donc le nombre . De même, possède la double propriété caractéristique suivante :
1o Si , les nombres de (1) sont tous, à partir d’un certain rang, supérieurs à ;
15. Dans le cas où la suite (1) a une limite (sens étendu), soit , je dis qu’on a . En effet, si et sont tels que , quand surpasse une certaine valeur , on a
,
d’où
,
et aussi
.
On voit que et sont au moins égaux à tout nombre , par suite aussi à la borne supérieure de ces nombres ; de même ils sont au plus égaux à la borne inférieure des nombres . Donc .
Réciproquement, supposons . Posons . Soit , . Quand dépasse un certain entier , on a
,
,
et, par suite,
ce qui montre que la suite (1) a pour limite .