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PRINCIPE D’EXTENSION

sont définies en tous ces points, et que, en posant, pour ${n=1,2,\ldots }$ et ${n=0}$

$f(x_{n},y_{n},\ldots )=f_{n}$,$\varphi (x_{n},y_{n},\ldots )=\varphi _{n}$,$\ldots$,

$\mathrm {F}$ est définie pour tous les points ${(f_{n},\varphi _{n},\ldots )}$.

Puisque $f,\varphi ,\ldots$ sont continues, on a

$\lim {f_{n}}=f_{0}$,$\lim {\varphi _{n}}=\varphi _{0}$,$\ldots$,

et $\mathrm {F}$ étant continue en tant que fonction de $f,\varphi ,\ldots$ on a

$\lim {\mathrm {F} (f_{n},\varphi _{n},\ldots )}=\mathrm {F} (f_{0},\varphi _{0},\ldots )$ ;

ce qui s’écrit,

$\lim {\Phi (x_{n},y_{n},\ldots )}=\Phi (x_{0},y_{0},\ldots )$.

La proposition est donc démontrée.

39. Si une égalité de la forme

$f(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )$,

où $f$ et $\varphi$ sont des fonctions continues des variables $x,y,\ldots$, est démontrée quand le point ${(x,y,\ldots )}$ est rationnel, elle a lieu également pour tout point appartenant à un champ dans lequel $f$ et $\varphi$ sont définies. En effet, soit ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ un tel point ; il y a une suite de points rationnels ${(x_{1},y_{1},\ldots )}$, ${(x_{2},y_{2},\ldots )}$, $\ldots$, ${(x_{n},y_{n},\ldots )}$, $\ldots$ tendant vers ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ et en chacun desquels $f$ et $\varphi$ sont définies. On a, pour ${n=1,2,\ldots }$,

$f(x_{n},y_{n},\ldots )=\varphi (x_{n},y_{n},\ldots )$,

d’où

$\lim {f(x_{n},y_{n},\ldots )}=\lim {\varphi (x_{n},y_{n},\ldots )}$,

c’est-à-dire, à cause de la continuité de $f$ et $\varphi$,

$f(x_{0},y_{0},\ldots )=\varphi (x_{0},y_{0},\ldots )$.