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PRINCIPE D’EXTENSION
sont définies en tous ces points, et que, en posant, pour
et ![{\displaystyle {n=0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc79d752667da4cd5e4454ce64d3d079cc4c9963)
![{\displaystyle f(x_{n},y_{n},\ldots )=f_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69307cbfeb49d226ac1eb4e1b9864409a662e386)
,
![{\displaystyle \varphi (x_{n},y_{n},\ldots )=\varphi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8fa697a5bf803a159595509bb23c0e20a74d16)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
,
est définie pour tous les points
.
Puisque
sont continues, on a
![{\displaystyle \lim {f_{n}}=f_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d72f6123e460ea1fc1633333a23a1e5afae480bc)
,
![{\displaystyle \lim {\varphi _{n}}=\varphi _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb90c7d99c4d1e1993d467fc5d70263c41149c3)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
,
et
étant continue en tant que fonction de
on a
![{\displaystyle \lim {\mathrm {F} (f_{n},\varphi _{n},\ldots )}=\mathrm {F} (f_{0},\varphi _{0},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29bb5e5817c0c5d61cba60498862789e8d0180c)
;
ce qui s’écrit,
![{\displaystyle \lim {\Phi (x_{n},y_{n},\ldots )}=\Phi (x_{0},y_{0},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1bec37c676b97299775e5b79469da3cbf0c9d1)
.
La proposition est donc démontrée.
39. Si une égalité de la forme
![{\displaystyle f(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87dd6e89fcbed7bf2c8f14f79abc1f93c104510e)
,
où
et
sont des fonctions continues des variables
, est démontrée quand le point
est rationnel, elle a lieu également pour tout point appartenant à un champ dans lequel
et
sont définies. En effet, soit
un tel point ; il y a une suite de points rationnels
,
,
,
,
tendant vers
et en chacun desquels
et
sont définies. On a, pour
,
![{\displaystyle f(x_{n},y_{n},\ldots )=\varphi (x_{n},y_{n},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fca7964846e04e8989ea9ca3e09befae54e3bd8)
,
d’où
![{\displaystyle \lim {f(x_{n},y_{n},\ldots )}=\lim {\varphi (x_{n},y_{n},\ldots )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c568a09a8910001fa1de5420b20b55e790bcb9ae)
,
c’est-à-dire, à cause de la continuité de
et
,
![{\displaystyle f(x_{0},y_{0},\ldots )=\varphi (x_{0},y_{0},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87ebb93e4c9e2202ae8b5e338cee0d89edf5ef8)
.