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PRINCIPE D’EXTENSION
ont des valeurs au moins égales respectivement aux nombres positifs
![{\displaystyle a+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2391acf09244b9dba74eb940e871a6be7e7973a)
,
![{\displaystyle a\times b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b420244850c1a22be4c326f91e146db8b037f0)
,
![{\displaystyle {\frac {a}{b'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d13a0f39c9ef8b70c15c09237de691abef61df)
;
il en est donc de même des fonctions de variables quelconques
,
,
considérées dans le même champ ; elles ont donc des valeurs positives. On voit aussi que,
étant positif,
est positif.
38. Si une fonction est continue dans tout champ où elle se trouve définie, nous dirons simplement, pour abréger, qu’elle est continue.
Soient
des variables,
des fonctions de ces variables, chacune des fonctions
pouvant être fonction, soit de toutes les variables
, soit seulement de certaines d’entre elles. Les variables
peuvent être les arguments d’une nouvelle fonction
, qu’on peut alors considérer comme une fonction
des premières variables
, par l’intermédiaire des fonctions
; on dit que c’est une fonction composée de
ou, dans le cas d’une seule variable
et d’une seule fonction intermédiaire
, une fonction de fonction. C’est ainsi que,
étant trois variables prenant toutes les valeurs réelles,
,
sont des fonctions de
, par l’intermédiaire de
et
. On a, à ce sujet, le théorème suivant :
Si
sont fonctions continues de
et si
est fonction continue des variables
, la fonction
est fonction continue de
Soit, en effet, une suite de points
![{\displaystyle (x_{1},y_{1},\ldots ),\,(x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,\,(x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751e2b85f5c1b7c8efad095534d45bb85f499de0)
tendant vers un point
. On suppose que
se trouve définie en chacun de ces points, ce qui suppose que ![{\displaystyle f,\varphi ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4535fd699ef8edf4598b80e30cb1f2cfa8b2bf97)