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PRINCIPE D’EXTENSION

ont des valeurs au moins égales respectivement aux nombres positifs

,, ;

il en est donc de même des fonctions de variables quelconques , , considérées dans le même champ ; elles ont donc des valeurs positives. On voit aussi que, étant positif, est positif.


38. Si une fonction est continue dans tout champ où elle se trouve définie, nous dirons simplement, pour abréger, qu’elle est continue.

Soient des variables, des fonctions de ces variables, chacune des fonctions pouvant être fonction, soit de toutes les variables , soit seulement de certaines d’entre elles. Les variables peuvent être les arguments d’une nouvelle fonction , qu’on peut alors considérer comme une fonction des premières variables , par l’intermédiaire des fonctions  ; on dit que c’est une fonction composée de ou, dans le cas d’une seule variable et d’une seule fonction intermédiaire , une fonction de fonction. C’est ainsi que, étant trois variables prenant toutes les valeurs réelles, , sont des fonctions de , par l’intermédiaire de et . On a, à ce sujet, le théorème suivant :

Si sont fonctions continues de et si est fonction continue des variables , la fonction est fonction continue de

Soit, en effet, une suite de points

tendant vers un point . On suppose que se trouve définie en chacun de ces points, ce qui suppose que