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THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES
XI
THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES
43. Transformons la définition de la continuité donnée au § 29. Soit
une fonction des variables
, définie dans un champ
, et qu’on suppose continue au point
. Soit
un nombre positif ; considérons le champ
:
On reconnaît que si
est intérieur au champ
, le champ
, quand
est suffisamment petit, est entièrement contenu dans
; cela n’a pas lieu quand
n’est pas intérieur à
, mais les champs
et
ont toujours un certain champ commun. Il sera entendu, dans la suite, que l’on désigne par champ
l’ensemble des points contenus dans
et satisfaisant à (1).
Les valeurs de
aux points du champ
forment un ensemble de nombres qui a des bornes supérieure et inférieure
et
; si on remplace
par un nombre inférieur
, le nouveau champ
obtenu est contenu dans
; donc on a, pour les nombres
, qui remplacent
et
,
![{\displaystyle \mathrm {M} _{\alpha }\geqslant \mathrm {M} _{\alpha '}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c6da2c2588bcc5407aadc6b34addbd5b6215bc)
,
![{\displaystyle {m_{\alpha }\leqslant m_{\alpha '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d07a50ec2d2b06bb004de4fca4ca6f197a224f)
.
Soit maintenant une suite décroissante de nombres positifs tendant vers 0 :
,
,
,
,
Appelons
et
les bornes supérieure et inférieure de
dans le champ
défini par les conditions (1), où l’on remplace
par
. On a
(2)
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