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THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES

XI

THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES

43. Transformons la définition de la continuité donnée au § 29. Soit ${f(x,y,\ldots )}$ une fonction des variables ${x,y,\ldots }$, définie dans un champ $\mathrm {C}$, et qu’on suppose continue au point ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$. Soit $\alpha$ un nombre positif ; considérons le champ $\Gamma$ :

(1)

$x_{0}-\alpha \leqslant x\leqslant x_{0}+\alpha$,$y_{0}-\alpha \leqslant y\leqslant y_{0}+\alpha$,$\ldots .$

On reconnaît que si ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$ est intérieur au champ $\mathrm {C}$, le champ $\Gamma$, quand $\alpha$ est suffisamment petit, est entièrement contenu dans $\mathrm {C}$ ; cela n’a pas lieu quand ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ n’est pas intérieur à $\mathrm {C}$, mais les champs $\mathrm {C}$ et $\Gamma$ ont toujours un certain champ commun. Il sera entendu, dans la suite, que l’on désigne par champ $\Gamma$ l’ensemble des points contenus dans $\mathrm {C}$ et satisfaisant à (1).

Les valeurs de $f$ aux points du champ $\Gamma$ forment un ensemble de nombres qui a des bornes supérieure et inférieure $\mathrm {M} _{\alpha }$ et $m_{\alpha }$ ; si on remplace $\alpha$ par un nombre inférieur $\alpha '$, le nouveau champ $\Gamma '$ obtenu est contenu dans $\Gamma$ ; donc on a, pour les nombres $\mathrm {M} _{\alpha '},m_{\alpha '}$, qui remplacent $\mathrm {M} _{\alpha }$ et $m_{\alpha }$,

$\mathrm {M} _{\alpha }\geqslant \mathrm {M} _{\alpha '}$,${m_{\alpha }\leqslant m_{\alpha '}}$.

Soit maintenant une suite décroissante de nombres positifs tendant vers 0 : $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\ldots$, $\alpha _{n}$, $\ldots$ Appelons $\mathrm {M} _{n}$ et $m_{n}$ les bornes supérieure et inférieure de $f$ dans le champ $\Gamma _{n}$ défini par les conditions (1), où l’on remplace $\alpha$ par $\alpha _{n}$. On a

(2)	$\mathrm {M} _{1}\geqslant \mathrm {M} _{2}\geqslant \ldots \geqslant \mathrm {M} _{n}\geqslant \ldots ,$
	$m_{1}\leqslant m_{2}\leqslant \ldots \leqslant m_{n}\leqslant \ldots .$