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RELATIVITÉ RESTREINTE

Pour obtenir la transformation des $\mathrm {F} _{x^{\prime }}^{\prime }$, $\mathrm {F} _{y^{\prime }}^{\prime }$, $\mathrm {F} _{z^{\prime }}^{\prime }$ nous considérons le cas d’une force électrique ; supposons que dans $\mathrm {S}$ règne un champ électrique $\mathrm {X}$, $\mathrm {Y}$, $\mathrm {Z}$ ; pour les observateurs de ce système, il s’exerce sur une particule de charge $e$ une force

$\mathrm {F} _{x}=e\mathrm {X} ,\qquad \mathrm {F} _{y}=e\mathrm {Y}$, $\qquad \mathrm {F} _{z}=e\mathrm {Z} .$

Appliquons (10-3), en y faisant $\mathrm {M=N=0} ,$ et remarquons que $e$ est un invariant : nous obtenons

(10-12)

$\mathrm {F} _{x^{\prime }}^{\prime }=\mathrm {F} _{x}$, $\quad \mathrm {F} _{y^{\prime }}^{\prime }={\frac {1}{\alpha }}\mathrm {F} _{y}$, $\quad \mathrm {F} _{z^{\prime }}^{\prime }={\frac {1}{\alpha }}\mathrm {F} _{z}.$

substituant dans (10-10) les valeurs de l’accélération (10-11) et de la force (10-12) il vient

(10-13)

$\quad {\begin{array}{|c|}\hline {\dfrac {m_{0}}{\alpha ^{3}}}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\mathrm {F} _{x},\quad {\dfrac {m_{0}}{\alpha }}{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}=\mathrm {F} _{y},\quad {\dfrac {m_{0}}{\alpha }}{\dfrac {d^{2}z}{dt^{2}}}=\mathrm {F} _{z}.\\\hline \end{array}}$

Bien qu’établies dans le cas particulier de la force électrique ces équations s’appliquent à une force quelconque, car si une force mécanique (par exemple la tension d’un ressort) fait équilibre à l’action exercée par un champ électrique, c’est un fait sur lequel tous les observateurs doivent se trouver d’accord. Il est donc nécessaire que les composantes de la force mécanique se transforment comme celles de la force électrique.

On trouve ainsi une masse longitudinale ${\frac {m_{0}}{\alpha ^{3}}}$ et une masse transversale ${\frac {m_{0}}{\alpha }},$ la masse étant définie comme coefficient d’inertie.

Mais les équations (10-13) peuvent s’écrire :