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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

1 000 parsecs-cubes), soit $\rho$ la densité moyenne de la matière, densité que nous supposerons constante. Nous pouvons, dans cet aspect d’ensemble, ne tenir compte que de la distribution générale de la matière, et faire abstraction des irrégularités locales.

Les vitesses relatives des astres étant toujours très petites par rapport à la vitesse de la lumière, nous pouvons envisager un système de référence dans lequel la matière est en moyenne, au repos. $\mathrm {T} _{\mu \nu }$ se réduit sensiblement à

$\mathrm {T} _{44}=g_{44}\rho .$

Les équations (15-5) s’écrivent :

(15-6)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\mathrm {R} _{\mu \nu }-\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\varkappa \rho \right)g_{\mu \nu }=0$

si l’on n’a pas $\mu =\nu =4$

$\mathrm {R} _{44}-\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\varkappa \rho \right)g_{44}=-\varkappa g_{44}\rho .$

Prenant la position de l’observateur comme origine des coordonnées et adoptant des coordonnées sphériques, ces équations comportent deux solutions, dans chacune desquelles la coupe à temps constant est un espace à courbure constante positive.

3^o L’UNIVERS D’EINSTEIN. — Soit $\mathrm {U}$ le rayon de courbure. La solution d’Einstein est :

(15-7)

$ds^{2}=-\mathrm {U} ^{2}\left[d\chi ^{2}+\sin ^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]+c^{2}dt^{2}.$

avec

(15-8)

$\varkappa \rho =2\lambda$, $\qquad \lambda ={\frac {1}{\mathrm {U} ^{2}}}\cdot$