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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

4^o L’UNIVERS DE DE SITTER. — La seconde solution de (15-6) est

(15-10)

$ds^{2}\!=\!-\mathrm {U} ^{2}\!\left[d\chi ^{2}\!+\sin ^{2}\!\chi \left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]+c^{2}\cos ^{2}\!\chi \,dt^{2}.$

avec

(15-11)

$\rho =0\qquad \lambda ={\frac {3}{\mathrm {U} ^{2}}}\cdot$

Cet Univers est profondément différent de celui d’Einstein. $g_{44}$ étant égal à $\mathrm {cos^{2}} \chi$ (au lieu de la constante $l$), l’espace et le temps restent unis, et il y a une courbure du temps.

De plus $\rho =0$ montre que la courbure d’ensemble de l’Univers n’est pas conditionnée par la matière mondiale (pas plus que le rayon de la terre ne dépend des accidents du sol). La matière intervient seulement pour produire des perturbations locales que nous négligeons ici, n’envisageant que la forme d’ensemble.

La zone du temps stationnaire. — Pour un point fixe dans l’espace (par rapport à l’observateur dont la position est prise pour origine des coordonnées), on a

$d\chi =0,\qquad d\theta =0,\qquad d\varphi =0$

et

(15-12)

$ds=\cos \chi c\,dt\qquad$ ou $\qquad dt={\frac {d\tau }{\cos \chi }}\cdot$

Près de l’observateur $\chi =0$ et $dt=d\tau \;;$ $t$ est le temps de l’observateur. Mais loin de lui, l’élément de temps propre est $d\tau ={\frac {ds}{c}}$, alors que l’élément de temps de l’observateur est toujours $dt$. Dans la zone $r={\frac {1}{2}}\pi \mathrm {U}$ $\left(\chi ={\frac {\pi }{2}}\right)$ le temps